Índice: Apuntes de geometría.
1. El triángulo
2. Lugares geométricos
3. Movimientos en el plano
4. Resumen de áreas y volúmenes de figuras conocidas 5. La esfera y el globo terráqueo6. Bibliografía
1. El triángulo
1.1 Propiedades y tipos de triángulos
Propiedades:
1 Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
2 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
3 El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
Tipos de triángulos:
1 Según sus lados:
Triángulo equilátero
Tres lados iguales.
Triángulo isósceles
Dos lados iguales.
Triángulo escaleno
Tres lados desiguales.
1.2 Rectas y puntos notables en el triángulo
Incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus lados es la misma (el radio de dicha circunferencia).
Baricentro
El baricentro (también llamado centroide) de un triángulo es el punto de intersección de las medianas de dicho triángulo (siendo una mediana el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto). Por ello, para representar gráficamente el baricentro debemos dibujar las tres medianas y localizar el punto en el que se cortan.
Circuncentro
El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices es la misma (el radio de dicha circunferencia).
Ortocentro
El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo (siendo una altura el segmento que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto a dicho vértice).
1.3 El teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida, entre otras, de las que tienen nombre propio de la matemática.
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes
y 
, y la medida de la hipotenusa es 
, se formula que:(1)
De la ecuación se deducen fácilmente tres corolarios de verificación algebraica y aplicación práctica:
1.3.2 representación gráfica
(http://gaussianos.com/lo-que-se-puede-hacer-con-geogebra-ixdemostracion-visual-del-teorema-de-pitagoras/
1.3.2 El teorema en 3D
https://youtu.be/NHjmDMAzuFA
1.4 El teorema de Tales
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.
Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.
2. Lugares geométricos
2.1 ¿Qué es un lugar geométrico?
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas condiciones o propiedades geométricas.
2.2 La mediatriz y la bisectriz
La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de las semirrectas de un ángulo.
La mediatriz de un segmento es la línea recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente se puede definir como el lugar geométrico — la recta — cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento. También se le llama simetral.
2.3 Las cónicas
2.3.1 ¿Qué es una cónica?
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre uncono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos:elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
2.3.2 La circunferencia
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante que se denomina radio.
Distíngase del círculo, que es el lugar geométrico de los puntos contenidos en el interior de dicha circunferencia, o sea, la circunferencia es el perímetro del círculo. Los puntos de la circunferencia están a una distancia igual al radio del centro del círculo, mientras los demás puntos del círculo están a menor distancia que el radio.
2.3.3 La elipse:
Obtención en un cono
ELIPSE. Dibujamos un círculo de centro C y un punto S en el interior del círculo. Desde cualquier punto Q de la circunferencia se traza la perpendicular a SQ. El conjunto de dichas rectas envuelve a un elipse. Cuanto más cerca esté S de C, más parecida a una circunferencia será la elipse obtenida (menor será su excentricidad).
Método del jardinero
El método se basa en la definición más corriente de la elipse, como lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los focos es constante. Los clavos o las chinchetas se colocan en el lugar de los focos, y la cuerda debe medir lo mismo que el eje mayor (2a). En el ejemplo de la foto al lazo de cuerda se le debe añadir la distancia de los focos. Con la cuerda tensa se mueve el lápiz o material de dibujo rodeando por completo los dos focos.
Se denomina “del jardinero” a este método porque sirve para trazar en el suelo elipses de gran tamaño y precisión suficiente, con medios modestos.
Mesa de billar elíptica
Coloca la bola en el foco “F” e impúlsala con el taco en la dirección que quieras. Siempre entra en el agujero, salvo imperfecciones en la nivelación o excesivo efecto en la bola.
También entrará la bola si la lanzas desde otro sitio pero la haces pasar por el foco “F”.
En una elipse, las líneas que unen los focos con un punto cualquiera de la curva forman con ella (con su tangente) ángulos iguales. Luego si la bola viene por una de esas líneas, después de “reflejarse” en la curva seguirá por la otra línea y, por tanto, pasará por el otro foco. Ahí hemos puesto el agujero.
2.3.4 La hipérbola:
Obtención en un cono
Se dibuja un círculo de centro C y un punto S exterior a la circunferencia. Se traza la perpendicular a SQ, para cualquier punto Q de la circunferencia. La familia de rectas obtenida es la envolvente de una hipérbola. Las perpendiculares CA y CB a las rectas tangentes a la circunferencia que pasan por S son las asíntotas de la hipérbola, rectas a las que la hipérbola se acerca en el infinito.
La lámpara hiperbólica
Las figuras sobre la pared, formadas por la luz de la lámpara, se pueden reproducir experimentalmente tomando las medidas de cualquier lámpara del tipo que tengamos en casa y de su posición relativa a la pared. El siguiente gráfico muestra la geometría utilizada para tomar estas medidas:
2.3.5 La parábola:
Obtención en un cono
Dibujamos una recta cualquiera L y un punto S no situado en ella. Desde cualquier punto Q de la recta trazamos la perpendicular a SQ. Una cantidad suficiente de rectas así construidas envuelven a una parábola con foco en el punto S.
La antena parabólica
La antena parabólica es un tipo de antena que se caracteriza por llevar un reflector parabólico, cuya superficie en realidad es un paraboloide de revolución.
El horno solar
Un horno solar es una estructura que usa energía solar concentrada para producir altas temperaturas, usualmente para usos industriales. Reflectores parabólicos o helióstatos concentran la luz (de insolación) sobre un punto focal. La temperatura en el punto focal puede alcanzar los 3500 °C, y este calor puede ser usado para generar electricidad, fundir acero, fabricar combustible de hidrógeno o nanomateriales.
El espejo parabólico
A similitud con los Espejos Esféricos, los Espejos Parabólicos son aquellos cuya superficie es engendrada por la rotación alrededor de su eje de la curva llamada parábola. La propiedad fundamental de esta curva es la siguiente:
Una propiedad geométrica simple de la parábola es la base de muchas aplicaciones importantes. Si F es el foco y P es un punto cualquiera de la parábola, la tangente en P forma ángulos iguales con FP y con GP, que es paralela al eje de la parábola (ver figura ). Un principio de la física dice que cuando un rayo de luz choca contra una superficie reflectora, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión
3. Movimientos en el plano
3.1 Las translaciones. ¿Qué es un vector?
En matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo y la dirección. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo. Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano
o en el espacio 
.
3.5 Frisos, mosaicos y cenefas
un friso es una Faja más o menos ancha que suele pintarse en la parte inferior de las paredes, de diverso color que estas. También puede ser de seda, estera de junco, papel pintado, azulejos, mármol, etc Es pues, lo mismo que una cenefa. Si nos fijamos, a nuestro alrededor los frisos están presentes de forma decorativa en muchas cosas.
En matemáticas un mosaico es un recubrimiento de todo el plano mediante figuras planas que ni se solapan ni dejan huecos entre ellas. Al igual que en los frisos, los movimientos en el plano están detrás de ellos.
3.6 MC. Escher
Maurits Cornelis Escher (Leeuwarden, Países Bajos, 17 de junio de 1898-Hilversum, Países Bajos, 27 de marzo de 1972), más conocido como M. C. Escher, fue un artista neerlandés conocido por sus grabados xilográficos, sus grabados al mezzotinto y sus dibujos, que consisten en figuras imposibles, teselados y mundos imaginarios.
Su obra experimenta con diversos métodos de representar (en dibujos de 2 o 3 dimensiones) espacios paradójicos que desafían a los modos habituales de representación.
4. Resumen de áreas y volúmenes de figuras conocidas
5. La esfera y el globo terráqueo
5.1 Elementos principales de la esfera.
Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera.
Radio: Distancia del centro a un punto de la esfera.
Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie.
Diámetro: Cuerda que pasa por el centro.
Polos: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.
5.2 Elementos de la esfera terrestre.
Polos: los puntos de corte de la esfera terrestre con su eje de giro (eje terrestre). Se llaman Polo Norte y Polo Sur.
Ecuador: la circunferencia que se obtiene al cortar la superficie terrestre por un plano perpendicular al eje terrestre en su punto medio.
Paralelos: las circunferencias paralelas al Ecuador.
Meridianos: las circunferencias que se obtienen al cortar la superficie terrestre con un plano que contiene a su eje. Todos ellos pasan por los polos.
5.3 Los husos horarios, la hora local solar y oficial.
Los husos horarios o zonas horarias son cada una de las veinticuatro áreas en las que se divide la Tierra. Esta gira alrededor de su eje una vez cada 24 horas, por lo que se establecen 24 husos horarios.
Todos los husos horarios se definen en relación al Tiempo Universal Coordinado (UTC), por lo que se centran en el meridiano de Greenwich (0º). Al pasar de un huso horario a otro en dirección Este hay que sumar una hora y por el contrario, al pasar de Este a Oeste hay que restar una hora.
Hora oficial – Es la hora que marcan nuestros relojes (el reloj de pulsera, del PC, etc.). En la España peninsular la diferencia con respecto a la hora UTC es de una hora de adelanto (o de dos en el horario de verano)(*). Esta hora es la utilizada como referencia en las otras horas de la tabla anterior. [La Hora legalsuele ser la que corresponde al “huso horario” en que se encuentre la mayor parte del pais, para el caso de la España peninsular es el UTC+0 coincidente con la hora UTC, la Hora oficial (que determina el gobierno) añade una hora (o dos en el horario de verano) a la Hora legal.]
Hora solar (u Hora solar verdadera) - Es la hora real (no la media anual como lo son las horas anteriores: oficial, legal, UTC y civil), es decir, son las 12 del mediodía cuando el Sol está en el cénit (lo más alto). Es la hora que marca un reloj de sol. Esta Hora solar no coincide, excepto cuatro días al año, con la Hora civil (que es una media), debido a las fluctuaciones, en el tiempo, de la duración de los días en el ciclo de un año. Fluctuaciones que pueden llegar a ser de hasta 30 segundos diarios en relación con las 24 horas exactas, y que al acumularse, se plasman en una diferencia horaria máxima de unos 16 minutos a principios de noviembre. Ver item 14 y la gráfica de la ecuación del tiempo a continuación de estos items. Dichas fluctuaciones son lentas, menos de 1 minuto de diferencia entre dos días consecutivos.
2.3.1 ¿Qué es una cónica?
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre uncono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos:elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
2.3.2 La circunferencia
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante que se denomina radio.
Distíngase del círculo, que es el lugar geométrico de los puntos contenidos en el interior de dicha circunferencia, o sea, la circunferencia es el perímetro del círculo. Los puntos de la circunferencia están a una distancia igual al radio del centro del círculo, mientras los demás puntos del círculo están a menor distancia que el radio.
2.3.3 La elipse:
Obtención en un cono
ELIPSE. Dibujamos un círculo de centro C y un punto S en el interior del círculo. Desde cualquier punto Q de la circunferencia se traza la perpendicular a SQ. El conjunto de dichas rectas envuelve a un elipse. Cuanto más cerca esté S de C, más parecida a una circunferencia será la elipse obtenida (menor será su excentricidad).
Método del jardinero
El método se basa en la definición más corriente de la elipse, como lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los focos es constante. Los clavos o las chinchetas se colocan en el lugar de los focos, y la cuerda debe medir lo mismo que el eje mayor (2a). En el ejemplo de la foto al lazo de cuerda se le debe añadir la distancia de los focos. Con la cuerda tensa se mueve el lápiz o material de dibujo rodeando por completo los dos focos.
Se denomina “del jardinero” a este método porque sirve para trazar en el suelo elipses de gran tamaño y precisión suficiente, con medios modestos.
Mesa de billar elíptica
Coloca la bola en el foco “F” e impúlsala con el taco en la dirección que quieras. Siempre entra en el agujero, salvo imperfecciones en la nivelación o excesivo efecto en la bola.
También entrará la bola si la lanzas desde otro sitio pero la haces pasar por el foco “F”.
En una elipse, las líneas que unen los focos con un punto cualquiera de la curva forman con ella (con su tangente) ángulos iguales. Luego si la bola viene por una de esas líneas, después de “reflejarse” en la curva seguirá por la otra línea y, por tanto, pasará por el otro foco. Ahí hemos puesto el agujero.
2.3.4 La hipérbola:
Obtención en un cono
Se dibuja un círculo de centro C y un punto S exterior a la circunferencia. Se traza la perpendicular a SQ, para cualquier punto Q de la circunferencia. La familia de rectas obtenida es la envolvente de una hipérbola. Las perpendiculares CA y CB a las rectas tangentes a la circunferencia que pasan por S son las asíntotas de la hipérbola, rectas a las que la hipérbola se acerca en el infinito.
La lámpara hiperbólica
Las figuras sobre la pared, formadas por la luz de la lámpara, se pueden reproducir experimentalmente tomando las medidas de cualquier lámpara del tipo que tengamos en casa y de su posición relativa a la pared. El siguiente gráfico muestra la geometría utilizada para tomar estas medidas:
2.3.5 La parábola:
Obtención en un cono
Dibujamos una recta cualquiera L y un punto S no situado en ella. Desde cualquier punto Q de la recta trazamos la perpendicular a SQ. Una cantidad suficiente de rectas así construidas envuelven a una parábola con foco en el punto S.
La antena parabólica
La antena parabólica es un tipo de antena que se caracteriza por llevar un reflector parabólico, cuya superficie en realidad es un paraboloide de revolución. El horno solar
Un horno solar es una estructura que usa energía solar concentrada para producir altas temperaturas, usualmente para usos industriales. Reflectores parabólicos o helióstatos concentran la luz (de insolación) sobre un punto focal. La temperatura en el punto focal puede alcanzar los 3500 °C, y este calor puede ser usado para generar electricidad, fundir acero, fabricar combustible de hidrógeno o nanomateriales. El espejo parabólico
A similitud con los Espejos Esféricos, los Espejos Parabólicos son aquellos cuya superficie es engendrada por la rotación alrededor de su eje de la curva llamada parábola. La propiedad fundamental de esta curva es la siguiente:
Una propiedad geométrica simple de la parábola es la base de muchas aplicaciones importantes. Si F es el foco y P es un punto cualquiera de la parábola, la tangente en P forma ángulos iguales con FP y con GP, que es paralela al eje de la parábola (ver figura ). Un principio de la física dice que cuando un rayo de luz choca contra una superficie reflectora, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión
3. Movimientos en el plano
3.1 Las translaciones. ¿Qué es un vector?
En matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo y la dirección. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo. Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano
o en el espacio .3.5 Frisos, mosaicos y cenefas
un friso es una Faja más o menos ancha que suele pintarse en la parte inferior de las paredes, de diverso color que estas. También puede ser de seda, estera de junco, papel pintado, azulejos, mármol, etc Es pues, lo mismo que una cenefa. Si nos fijamos, a nuestro alrededor los frisos están presentes de forma decorativa en muchas cosas.
En matemáticas un mosaico es un recubrimiento de todo el plano mediante figuras planas que ni se solapan ni dejan huecos entre ellas. Al igual que en los frisos, los movimientos en el plano están detrás de ellos.
3.6 MC. Escher
Maurits Cornelis Escher (Leeuwarden, Países Bajos, 17 de junio de 1898-Hilversum, Países Bajos, 27 de marzo de 1972), más conocido como M. C. Escher, fue un artista neerlandés conocido por sus grabados xilográficos, sus grabados al mezzotinto y sus dibujos, que consisten en figuras imposibles, teselados y mundos imaginarios.
Su obra experimenta con diversos métodos de representar (en dibujos de 2 o 3 dimensiones) espacios paradójicos que desafían a los modos habituales de representación.
4. Resumen de áreas y volúmenes de figuras conocidas
5. La esfera y el globo terráqueo
5.1 Elementos principales de la esfera.
Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera.
Radio: Distancia del centro a un punto de la esfera.
Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie.
Diámetro: Cuerda que pasa por el centro.
Polos: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.
5.2 Elementos de la esfera terrestre.
Polos: los puntos de corte de la esfera terrestre con su eje de giro (eje terrestre). Se llaman Polo Norte y Polo Sur.
Ecuador: la circunferencia que se obtiene al cortar la superficie terrestre por un plano perpendicular al eje terrestre en su punto medio.
Paralelos: las circunferencias paralelas al Ecuador.
Meridianos: las circunferencias que se obtienen al cortar la superficie terrestre con un plano que contiene a su eje. Todos ellos pasan por los polos.
5.3 Los husos horarios, la hora local solar y oficial.
Los husos horarios o zonas horarias son cada una de las veinticuatro áreas en las que se divide la Tierra. Esta gira alrededor de su eje una vez cada 24 horas, por lo que se establecen 24 husos horarios.
Todos los husos horarios se definen en relación al Tiempo Universal Coordinado (UTC), por lo que se centran en el meridiano de Greenwich (0º). Al pasar de un huso horario a otro en dirección Este hay que sumar una hora y por el contrario, al pasar de Este a Oeste hay que restar una hora.
Hora oficial – Es la hora que marcan nuestros relojes (el reloj de pulsera, del PC, etc.). En la España peninsular la diferencia con respecto a la hora UTC es de una hora de adelanto (o de dos en el horario de verano)(*). Esta hora es la utilizada como referencia en las otras horas de la tabla anterior. [La Hora legalsuele ser la que corresponde al “huso horario” en que se encuentre la mayor parte del pais, para el caso de la España peninsular es el UTC+0 coincidente con la hora UTC, la Hora oficial (que determina el gobierno) añade una hora (o dos en el horario de verano) a la Hora legal.]
Hora solar (u Hora solar verdadera) - Es la hora real (no la media anual como lo son las horas anteriores: oficial, legal, UTC y civil), es decir, son las 12 del mediodía cuando el Sol está en el cénit (lo más alto). Es la hora que marca un reloj de sol. Esta Hora solar no coincide, excepto cuatro días al año, con la Hora civil (que es una media), debido a las fluctuaciones, en el tiempo, de la duración de los días en el ciclo de un año. Fluctuaciones que pueden llegar a ser de hasta 30 segundos diarios en relación con las 24 horas exactas, y que al acumularse, se plasman en una diferencia horaria máxima de unos 16 minutos a principios de noviembre. Ver item 14 y la gráfica de la ecuación del tiempo a continuación de estos items. Dichas fluctuaciones son lentas, menos de 1 minuto de diferencia entre dos días consecutivos.
5.4 El método de Eratóstenes para calcular el diámetro de la circunferencia terrestre
Estando en la Biblioteca de Alejandría,Eratóstenes encontró un informe de observaciones sobre Siena, ciudad situada a unos 800 Km. al sur de Alejandría, en el que se decía que el día del solsticio de verano (21 de junio) a mediodía, los objetos (como por ejemplo, los obeliscos) no producían sombra y en el fondo de los pozos podía verse la luz del sol. Esto se debe a que está ciudad está sobre la línea del trópico (en realidad, 33' al norte del Trópico de Cáncer)
Eratóstenes realizó observó que, en Alejandría, el mismo día y a la misma hora no se producía este mismo hecho. Asumió de manera correcta que el Sol se encontraba a gran distancia y que sus rayos, al alcanzar la tierra, lo hacían en forma (prácticamente) paralela. Esto ratificaba su idea de que la superficie de la Tierra era curva pues, de haber sido plana, no se hubiese producido esta diferencia entre las dos ciudades. El siguiente paso fue medir en Alejandría el ángulo que formaban los rayos del sol con la vertical que por construcción es igual al ángulo cuyo vértice está en el centro de la Tierra (ver gráfico superior). Este ángulo resulto ser de 7º 12' ( = 7'2º) que unido al hecho conocido de que la distancia entre las dos ciudades era de 5.000 estadios, dieron como conclusión que la circunferencia de la Tierra medía 360·5000/7'2; es decir, 250.000 estadios. Aunque no se tienen datos exactos, se sabe que el estadio equivale a unos 160 m (actualmente se suele tomar 158m). Por tanto, 250.000 estadios son aproximadamente 250.000*160/1000 = 40.000 Km. Esto equivale a un radio de 6.366 Km. o 6.286 si tomamos los 158m, contra los 6.371 Km. que son los admitidos hoy en día.
Las únicas herramientas de Eratóstenes fueron palos, ojos, pies y cerebro, y además el gusto por la experimentación. Con estos elementos dedujo la circunferencia de la Tierra con un error bastante pequeño, lo que constituye un logro notable para el año en que tuvo lugar.
6 bibliografía
1-wikipedia
2-el rincón de la ciencia
3-las cónicas
4-Eratóstenes y el radio de la tierra
5-espejos parabólicos
6-vitutor
7-matemáticas para todos
